Опубликовано 6 лет назад по предмету Математика от Ponyashka007

Помогите оладушки. Найти три целых положительных числа, которые образовывают геометрическую прогрессию, такие, что если второе число увеличить на 8, то образуется арифметическая прогрессия, а если после этого увеличить третье число на 64, то снова образуется геометрическая прогрессия.

Ответ

Ответ дан artalex74

Я хоть и не оладушек, но помогу.
Пусть x; y; z - данные целые положительные числа.
Т.к. они образуют геом. прогрессию, то верно равенство y²=xz.
После увеличения второго числа у на 8 получим ряд х; у+8; z, который образует арифм. прогрессию. Для такой прогрессии верно равенство 2(у+8)=x+z.
Наконец, после увеличения третьего числа z на 64 получим ряд х; у+8; z+64, который образует геом. прогрессию. Для такой прогрессии верно равенство (y+8)²=x(z+64).
Таким образом, получена система уравнений:
$begin {cases} y^2=xz \ 2(y+8)=x+z \ (y+8)^2=x(z+64) end {cases} Leftrightarrow begin {cases} y^2=xz \ 2y+16=x+z \ (y+8)^2=xz+64x end {cases} Leftrightarrow \ Leftrightarrow begin {cases} y^2=xz \ 2y+16=x+z \ y^2+16y+64=y^2+64x end {cases} Leftrightarrow begin {cases} y^2=xz \ 2y+16=x+z \ 16y+64=64x end {cases} Leftrightarrow$
$Leftrightarrow begin {cases} y^2=xz \ 2y+16=x+z \ y+4=4x end {cases} Leftrightarrow begin {cases} y^2=xz \ y=4x-4 \ z=2y+16-x=8x-8+16-x =7x+8 end {cases}\ Leftrightarrow begin {cases} (4x-4)^2=x(7x+8) \ y=4x-4 \ z=7x+8 end {cases} Leftrightarrow begin {cases} 16x^2-32x+16=7x^2+8x \ y=4x-4 \ z=7x+8 end {cases} Rightarrow \$
$Leftrightarrow begin {cases} 9x^2-40x+16=0 \ y=4x-4 \ z=7x+8 end {cases} Rightarrow begin {cases} x_1=frac{4}{9}; x_2=4 \ y=4x-4 \ z=7x+8 end {cases}$
$x=frac{4}{9} notin Z Rightarrow x=4 Rightarrow begin {cases} x=4 \ y=12 \ z=36 end {cases}$
Значит, 4, 12 и 36 - искомые целые положительные числа, которые образуют геом. прогрессию.
Ответ: 4; 12; 36.
1. Ответ
  
  Ответ дан Ponyashka007
  
  Спасибо большое ^-^
2. Ответ
  
  Ответ дан artalex74
  
  Та на здоровье! )))

Самые новые вопросы

Математика - 6 лет назад

Решите уравнения: а) 15 4 ∕19 + x + 3 17∕19 = 21 2∕19; б) 6,7x - 5,21 = 9,54

Помогите решить задачи на паскаль.1) дан массив случайных чисел (количество элементов вводите с клавиатуры). найти произведение всех элементов массива.2) дан массив случайных чисел (количество элементов вводите с клавиатуры). найти сумму четных элементов массива.3) дан массив случайных чисел (количество элементов вводите с клавиатуры). найти максимальный элемент массива.4) дан массив случайных чисел (количество элементов вводите с клавиатуры). найти максимальный элемент массива среди элементов, кратных 3.

География - 6 лет назад

Почему япония - лидер по выплавке стали?

Математика - 6 лет назад

Чему равно: 1*(умножить)х? 0*х?

Русский язык - 6 лет назад

В каком из предложений пропущена одна (только одна!) запятая?1.она снова умолкла, точно некий внутренний голос приказал ей замолчать и посмотрела в зал. 2.и он понял: вот что неожиданно пришло к нему, и теперь останется с ним, и уже никогда его не покинет. 3.и оба мы немножко удовлетворим свое любопытство.4.впрочем, он и сам только еле передвигал ноги, а тело его совсем застыло и было холодное, как камень. 5.по небу потянулись облака, и луна померкла.

Информация