ХЕЛП. Найти Д(у) и Е(у) и функцию обратную данной

1а) Дана функция y = 3x^4 - 7x^2 + 8.

Область определения функции D(y) = R (все действительные числа).

Область значений функции надо определить с учётом промежутков её монотонности.

Для этого найдём производную: y' = 12x³ - 14x = 2x(6x² - 7) и приравняем её нулю.

y' = 2x(6x² - 7) = 0.

Получаем 3 корня: х = 0, х = √(7/6) и х = -√(7/6) и 4 промежутка монотонности: (-∞; (-√(7/6)), ((-√(7/6); 0), (0; √(7/6)) и (√(7/6); +∞).

Найдём знаки производной на этих промежутках.

х = -2 -√(7/6) -1 0 1 √(7/6) 2

y' = -68 0 2 0 -2 0 68.

Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.

С учётом значений функции на этих промежутках:

y = 28 3,91667 4 8 4 3,916667 28

делаем вывод об области значений функции: E(y): ((47/12); +∞).

Здесь (47/12) ≈ 3,916667 - это минимум функции.

1б) Дана функция у = (4 - х)/(3х - 5).

Область определения функции D(y) = R, за исключением х = 5/3, при котором знаменатель дроби превращается в ноль.

Производная равна y' = -7/(3x - 5)² и ни при каком значении переменной не может быть равна нулю. По знаку производной видно, что это убывающая функция на всей области определения.

Найдём предел функции при х ⇒ +-∞.

Для этого разделим числитель и знаменатель на х.

lim (4 - х)/(3х - 5) = ((4/x) - (x/x))/((3x/x) - (5/x)) = (0 - 1)/(3 - 0) = -1/3.

Отсюда определяем область значений функции:

E(y): (-∞; (-1/3)) ∪ ((-1/3); +∞).

Можно так: Е(у) = R. y ≠ (-1/3).

1в) у = √(12 - 4х).

D(y) = 12 - 4x >=0, x <=3 или х ∈ (3; -∞).

E(y) = y >= 0 или у ∪ [0; +∞)

1г) Дана функция

По свойству логарифма x² + x - 6 > 0.

Находим предельные значения: x² + x - 6 = 0.

Квадратное уравнение, решаем относительно x:

Ищем дискриминант:

D=1^2-4*1*(-6)=1-4*(-6)=1-(-4*6)=1-(-24)=1+24=25;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

x_1 = (√25-1)/(2*1) = (5-1)/2 = 4/2 = 2;

x_2 = (-√25-1)/(2*1) = (-5-1)/2 = -6/2 = -3.

Положительные значения квадратного трёхчлена - левее и правее найденных корней, поэтому область определения функции :

D(y) = (-∞; -3) ∪ (2; +∞).

Область значений функции: Е(у) = R.

Так как функция разбита на 2 части, то можно записать для каждой из них: х ∈ (-∞; -3) ∪ (2; +∞) ⇒ у ∈ (-∞; +∞).

2) у = 1,5х - 0,5.

(3/2)х = у + 0,5.

х = (2/3)у + (1/3) или у = (2/3)х + (1/3).

у = 3х/(х + 4).

ху +4у = 3х.

ху - 3х = -4у.

х(у - 3) = -4у.

х = -4у/(у - 3) или у = 4х/(3 - х).