Длина ребра правильного тетраэдра АВСД равна 1 см. Найдите угол между прямыми ДМ и СК, где М- середина ребра ВС , К- середина ребра АВ.

вооо вложениях посмотри .....................................................................................

Прямой способ решения такой

Пусть точка Р - середина КВ, то есть ВР = КP = 1/4; тогда МР II CK и МР = СК/2. Из прямоугольного треугольника DKP с катетами DK = √3/2 и КР = 1/4 находится DP (нужен только квадрат DP^2 = DK^2 + KP^2). В треугольнике DPM две другие стороны DM = √3/2, МР =  √3/4; отсюда по теореме косинусов (x - КОСИНУС искомого угла DMP)

DK^2 + KP^2 = DM^2 + MP^2 - 2*DM*MP*x;

1/16 = 3/16 - 2*(√3/2)*(√3/4)*x; 

x = 1/6; 

Ответ arccos(1/6);

Есть такой интересный способ.

Если взять куб ABCDA1B1C1D1, то фигура с вершинами A1BC1D - правильный тетраэдр. Если обозначить М - центр грани куба ABCD, К - центр грани BCC1B1, то прямые DK и A1M - и есть нужные прямые.

Углы не зависят от масштаба, есть принять сторону куба за 1

и i j k - единичные вектора i = AB; j = AD; k = AA1;

то

вектор MA1 = -i/2 - j/2 + k;

вектор  DK = -i/2 + j + k/2;

их скалярное произведение равно 1/4 - 1/2 + 1/2 = 1/4,

а произведение модулей (у них модули равны) (1/2)^2 + 1^2 + (1/2)^2 = 6/4,

откуда косинус угла 1/6.