В выпуклом четырехугольнике ABCD диагональ DB перпендикулярна стороне AB, диагональ AC перпендикулярна стороне DC.AD=2, сумма углов при вершинах A и D = 120 градусов.Найти длину стороны BC

Нужно заметить, что все вершины четырехугольника ABCD лежат на окружности (радиуса 1), диаметр которой есть сторона AD, а середина стороны AD (точка O) - центр окружности.

(Прямоугольные треугольники ABD и ACD опираются на AD, как на диаметр.)

угол A есть полусумма дуги ВС и дуги СD

угол D есть полусумма дуги AВ и дуги BС

угол А + угол D = (1/2)(дуга ВС+ дуга СD + дуга AВ + дуга BС) =120

дуга AВ + дуга BС + дуга СD = 180  (полная полуокружность)

(1/2)(дуга ВС+ 180) =120

 90 + (1/2)дуга ВС=120

(1/2)дуга ВС=120-90=30

дуга ВС=240-180=60

угол BOD = дуги BC  (т.к. угол BOD - центральный)

угол BOD = 60 градусов

Треугольник BOC с вершиной в точке О - центре окружности на середине стороны AD - равносторонний (как равнобедренный OB=OC = 1 - радиус окружности = половина стороны AD=2 и углом 60 градусов (отсюда следует, что все углы по 60))

Ответ: BC=1

Примечание: положение стороны BC на полуокружности может быть любым (!). На решение и ответ это не влияет.