Опубликовано 6 лет назад по предмету Алгебра от SergSC

Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию y=f(x)

и построить ее график.

$f(x)=frac{1}{3}(x^{3}-8x^{2}+5x+14)$

График можно не строить, главное расписать какие точки брать.

Заранее спасибо!

Ответ

Ответ дан Geometr

1) Найдем нулю нашей функции. Для чего разложим на множители формулу, которой она задана, с помощью введения новых вспомогательных членов.

$f(x)=frac{1}{3}(x^{3}-4x^{2}-4x^{2}+4x+x+16-2)=$ $=frac{1}{3}((x^{3}-4x^{2}+4x)-(4x^{2}-16)+(x-2))=$ $=frac{1}{3}[x(x-2)^{2}-4(x-2)(x+2)+(x-2)]=$ $=frac{1}{3}(x-2)(x(x-2)-4(x+2)+1)=frac{1}{3}(x-2)(x^{2}-6x-7)$

Из $f(x)=0$ следует:

а) $x-2=0$ , отсюда $x_{1}=2$ - нуль функции

б) $x^{2}-6x-7=0$ , $D=(-6)^{2}-4*(-7)=36+28=64$ , отсюда

$x_{2}=frac{6+8}{2}=7$ , $x_{3}=frac{6-8}{2}=-1$ - нули функции

Итак, функция $f(x)$ обращается в нуль в точках $x_{1}$ , $x_{2}$ и $x_{3}$

2) Найдем возможные точки экстремума нашей функции. Для чего найдем производную функции $f(x)$ :

$f^{'}(x)=frac{1}{3}(x^{3}-8x^{2}+5x+14)^{'}_{x}=frac{1}{3}(3x^{2}-16x+5)$ -----(1)

Разложим квадратный трехчлен, стоящий в правой части (1), на целые множители. Для чего найдем дискриминант этого квадратного трехчлена:

$D=256-12*5=256-60=196=14^{2}$ , отсюда найдем корни:

$x^{'}_{1}=frac{16+14}{6}=5$

   $x^{'}_{2}=frac{16-14}{6}=frac{1}{3}$ ---------(2)

Тогда с (2) выражение (1) примет вид:

$f^{'}(x)=frac{1}{3}*3*(x-5)(x-frac{1}{3})$ ----------(3)

C помощью метода интервалов найдем промежутки, на которых производная функции $f(x)$ принимает положительные и отрицательные значения:

а) $f^{'}(x)>0$ при x принадлежащем объединению промежутков

(-бесконечности; 1/3)U(5; +бесконечности )

б) $f^{'}(x)<0$ при x принадлежащем промежутку (1/3; 5)

Известно, что промежутки, на которых производная функции положительна, являются промежутками возрастания функции!

На промежутках, где $f^{'}(x)<0$ , функция убывает!



Поскольку при переходе через точку x=1/3 производная меняет знак с плюса на минус, то эта точка - точка максимума

Поскольку при переходе через точку x=5 производная меняет знак с минуса на плюс, то эта точка - точка минимума. Итак,

$x_{max}=frac{1}{3}$

$x_{min}=5$

Самые новые вопросы

Математика - 5 лет назад

Решите уравнения: а) 15 4 ∕19 + x + 3 17∕19 = 21 2∕19; б) 6,7x - 5,21 = 9,54

Информатика - 5 лет назад

Помогите решить задачи на паскаль.1) дан массив случайных чисел (количество элементов вводите с клавиатуры). найти произведение всех элементов массива.2) дан массив случайных чисел (количество элементов вводите с клавиатуры). найти сумму четных элементов массива.3) дан массив случайных чисел (количество элементов вводите с клавиатуры). найти максимальный элемент массива.4) дан массив случайных чисел (количество элементов вводите с клавиатуры). найти максимальный элемент массива среди элементов, кратных 3.

География - 5 лет назад

Почему япония - лидер по выплавке стали?

Математика - 5 лет назад

Чему равно: 1*(умножить)х? 0*х?

Русский язык - 5 лет назад

В каком из предложений пропущена одна (только одна!) запятая?1.она снова умолкла, точно некий внутренний голос приказал ей замолчать и посмотрела в зал. 2.и он понял: вот что неожиданно пришло к нему, и теперь останется с ним, и уже никогда его не покинет. 3.и оба мы немножко удовлетворим свое любопытство.4.впрочем, он и сам только еле передвигал ноги, а тело его совсем застыло и было холодное, как камень. 5.по небу потянулись облака, и луна померкла.