Опубликовано 6 лет назад по предмету Математика от Rada45

в эллипсе $frac{x^2}{a^2}+ frac{y^2}{b^2}=1$ вписать прямоугольник со сторонами,параллельными осям эллипса,площадь которого наибольшая.

помогите пожалуйста

Ответ

Ответ дан Матов

$frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1$ , пусть $(x';y')$ координаты вершины $A$ , прямоугольника $ABCD$ .
Если прямоугольник вписан в эллипс , то выполняется условие
$frac{x'^2}{a^2}+frac{y'^2}{b^2}=1\ x'^2b^2+a^2y'^2=a^2b^2\ y'^2=frac{a^2b^2-x'^2b^2}{a^2}\$
Тогда площадь прямоугольника равна $S=2x'*2y'=4x'y'$ это не производные .
$x'=x\ y'=y\\ S=4xy\ y^2=frac{a^2b^2-x^2b^2}{a^2}\\ S=4*sqrt{frac{a^2b^2-x^2b^2}{a^2}}*x$
Теперь рассмотрим данную функцию очевидно что $a>b>y>x>0$ .
Найдем производную
$S'=4*sqrt{frac{a^2b^2-x^2b^2}{a^2}}*x \ S'=frac{ (8x^2-4a^2) * sqrt{a^2b^2-b^2x^2} }{ax^2-a^3}\ S'=0\ 8x^2=4a^2\ x= frac{a}{sqrt{2}}\ a^2b^2 geq b^2x^2\ a^2 geq x^2 \ a neq x\$
То есть одна сторона прямоугольника равна $2*frac{a}{sqrt{2}}=sqrt{2}*a\$
тогда другая $sqrt{2}b$ .
То есть самая наибольшая площадь которую можно вписать в данный эллипс равен
$S=2ab$

Самые новые вопросы

Математика - 6 лет назад

Решите уравнения: а) 15 4 ∕19 + x + 3 17∕19 = 21 2∕19; б) 6,7x - 5,21 = 9,54

Информатика - 6 лет назад

Помогите решить задачи на паскаль.1) дан массив случайных чисел (количество элементов вводите с клавиатуры). найти произведение всех элементов массива.2) дан массив случайных чисел (количество элементов вводите с клавиатуры). найти сумму четных элементов массива.3) дан массив случайных чисел (количество элементов вводите с клавиатуры). найти максимальный элемент массива.4) дан массив случайных чисел (количество элементов вводите с клавиатуры). найти максимальный элемент массива среди элементов, кратных 3.

География - 6 лет назад

Почему япония - лидер по выплавке стали?

Математика - 6 лет назад

Чему равно: 1*(умножить)х? 0*х?

Русский язык - 6 лет назад

В каком из предложений пропущена одна (только одна!) запятая?1.она снова умолкла, точно некий внутренний голос приказал ей замолчать и посмотрела в зал. 2.и он понял: вот что неожиданно пришло к нему, и теперь останется с ним, и уже никогда его не покинет. 3.и оба мы немножко удовлетворим свое любопытство.4.впрочем, он и сам только еле передвигал ноги, а тело его совсем застыло и было холодное, как камень. 5.по небу потянулись облака, и луна померкла.