Из егэ по математике профиль 2019

В корзине находятся 65 овощей, я и мои друзья, их средняя масса равна 1000г, средняя масса всех овощей, масса которых меньше 1000г равна 982г, а средняя масса всех овощей, масса которых больше 1000г равна 1024г. В корзине есть хотя бы 2 овоща чья масса отличная от 1000г

а)может ли быть поровну овощей массой меньше 1000г и больше 1000г?
б)может ли быть, что 13 овощей весят 1000г,а все остальные больше или меньше?
в) какова масса самого лёгкого овоща​

Пусть x овощей имеют массу меньше 1000, y - больше 1000, а z - ровно 1000.

а) Предположим, что да. Тогда справедливо уравнение:

, но x очевидно не может быть нулем, т.к. среднее арифметическое больше нуля. Противоречие.

б) Предположим, что это возможно. Тогда x+y+13=65 ⇔ x+y=52. Аналогично строим уравнение: , получили противоречие: x должно быть целым числом.

в) Понятно, что минимальная масса встречается только в группе, где расположены овощи массой меньше 1000 г. Обозначим массу самого легкого за  ; Пусть масса оставшихся в этой же группе овощей суммарно равна ; Тогда ; Заметим, что ; Поэтому (*);

Теперь рассмотрим уравнение , значит x кратно 4. Пусть ;

Рассмотрим другое уравнение: ; Отсюда получаем, что ;

Возвратимся к (*): ; Приведем пример при котором осуществима оценка:

Пусть в первой группе 1 овощ весит 387 граммов, а остальные 35 весят по 999 граммов. Во второй группе 2 овоща весят по 1000 граммов. А в последней группе 27 овощей весят 1024 грамма.

Ответ: а) нет

           б) нет

           в) минимально возможная масса - 387 граммов