Опубликовано 5 лет назад по предмету Математика от sokolin2

Помогите решить!!
Объём шара равен 6. Найдите объём цилинра , ВПИСАННОГО в шар.

Ответ

Ответ дан mefody66

В шар можно вписать много разных цилиндров, несколько из них показано на рисунке. Обозначим r радиус цилиндра, H высоту. R радиус шара.
В крайних положениях, при R = r и при H = 2R будет объем цилиндра V(ц) = 0.
Близкие к этому положения показаны красным.
В некотором положении объем цилиндра будет максимальным.
Это положение показано синим.
Объем шара V(ш) = 4/3*pi*R^3 = 6
R^3 = 6*3/(4pi) = 9/(2pi) = 27/(6pi)
R = ∛(27/(6pi)) = 3/∛(6pi)
По теореме Пифагора (треугольник показан черным)
(H/2)^2 + r^2 = R^2 = 9/∛(36pi^2)
$r^2=frac{9}{sqrt[3]{36pi^2}} -frac{H^2}{4} =sqrt[3]{frac{9^3}{9*4pi^2}} -frac{H^2}{4} =sqrt[3]{frac{81}{4pi^2}}-frac{H^2}{4}$
Объем цилиндра
$V=pi r^2H=pi (sqrt[3]{frac{81}{4pi^2}}-frac{H^2}{4})H=pi Hsqrt[3]{frac{81}{4pi^2}}-frac{pi}{4} H^3=Hsqrt[3]{frac{81pi}{4}}-frac{pi}{4} H^3$
Объем будет максимальным, когда производная будет равна 0
$V'(H)=sqrt[3]{frac{81pi}{4}}-frac{3pi}{4} H^2=0$
$H^2=sqrt[3]{frac{81pi}{4}}:frac{3pi}{4}=sqrt[3]{frac{81pi}{4}*frac{64}{27pi^3}}=sqrt[3]{frac{3*16}{pi^2}}=sqrt[3]{frac{48}{pi^2}}$
$H=sqrt[6]{frac{48}{pi^2}}$
Теперь найдем радиус цилиндра
$r^2=sqrt[3]{frac{81}{4pi^2}}-frac{H^2}{4} =sqrt[3]{frac{81}{4pi^2}}-frac{1}{4}sqrt[3]{frac{48}{pi^2}}=sqrt[3]{frac{81}{4pi^2}}-sqrt[3]{frac{48}{64pi^2}}=$
$=sqrt[3]{frac{81}{4pi^2}}-sqrt[3]{frac{3}{4pi^2}} =frac{sqrt[3]{81}-sqrt[3]{3}}{sqrt[3]{4pi^2}}= frac{3 sqrt[3]{3} - sqrt[3]{3} }{ sqrt[3]{4 pi^2 } } = frac{2 sqrt[3]{3} }{sqrt[3]{4 pi^2 } } = sqrt[3]{ frac{8*3}{4 pi^2 } } = sqrt[3]{ frac{6}{pi^2} }$
Объем цилиндра
$V=pi r^2H=pi sqrt[3]{ frac{6}{ pi ^2} } *sqrt[6]{frac{48}{pi^2}} = sqrt[6]{ frac{36 pi ^6}{ pi ^4} } *sqrt[6]{frac{48}{pi^2}} =sqrt[6]{36*48} = sqrt[6]{6^3*8} =sqrt{12}$
1. Ответ
  
  Ответ дан sokolin2
  
  но ответ не можем быть корень из 12 , так как этот номер был в самом егэ 2017 (первая часть) , корень в тест не вписать
2. Ответ
  
  Ответ дан sokolin2
  
  ну а суть , я поняла . Спасибо))
3. Ответ
  
  Ответ дан mefody66
  
  пожалуйста. Я с самого начала сказал - это наибольший возможный объем. Можете написать любое число меньше корня из 12. Например, 3.