а) Точку M внутри треугольника соединили с его вершинами, в результате треугольник разбился на три равновеликие части. Докажите, что M – точка пересечения медиан треугольника.
б) Вершины треугольника расположены в узлах клетчатой бумаги, причем на его сторонах других узлов нет, а внутри есть ровно один узел О. Докажите, что О – точка пересечения медиан треугольника.

1) Пусть G - точка пересечения медиан AD, BE и CF. Площадь треугольника ABE равна половине площади треугольника ABC, так как у этих треугольников высоты, проведенные из вершины B, равны, а основание AE в два раза меньше основания AC. Далее, поскольку медианы в точке пересечения делятся в отношении 2 к 1, считая от вершины, площадь треугольника ABG в два раза больше площади треугольника AGE, то есть площадь ABG - это 2/3 площади ABE, то есть (23)·(1/2)=1/3 площади ABC. Этим мы доказали, что треугольники ABG, BCG и CAG равновелики. Докажем теперь, что если для некоторой точки M, лежащей внутри треугольника, площади ABM, BCM и CAM равны, то M=G. Если это не так, то точка M лежит внутри одного из треугольников ABG, BCG, CAG, или на одной из сторон AG, BG, CG. Если точка M лежит внутри ABM или на AG или на BG, площадь ABM будет меньше площади ABG, а тогда треугольники ABM, BCM и CAM не будут равновеликими. Аналогично рассматриваются остальные случаи.

2) Воспользуемся формулой Пика, по которой площадь многоугольника с вершинами в узлах клетчатой бумаги со стороной квадратов 1 равна

где n - количество узлов внутри многоугольника, m - число узлов на сторонах многоугольника и в его вершинах. В нашем случае n=1, m=3, поэтому площадь треугольника ABC равна 1+3/2-1=3/2. По той же формуле площади треугольников ABO, BCO, CAO равны 0+3/2-1=1/2, поэтому эти треугольники равновелики, а тогда по первому пункту O является точкой пересечения медиан.

Мы предположили, что стороны клеток равны 1. Если это не так, можно дополнительно рассмотреть клетчатую бумагу со стороной 1 и треугольник, подобный нашему, с вершинами в узлах новой решетки. Для нового треугольника утверждение доказано, а тогда и для исходного утверждение также справедливо. Другая возможность рассуждения состоит в введении новой единицы длины, равной стороне клетки. Тогда формула Пика оказывается справедлива и для такой бумаги.