Опубликовано 6 лет назад по предмету Математика от azamat1111qqqq

Докажите, что:
sina+cosa=√2cos(П:4-a)

Ответ

Ответ дан spasibo3pajbrh

ответ на фото. удачи!
Ответ

Ответ дан alkorb

Это формула: введение вспомогательного угла. Выводится следующим образом:
Если есть выражение: asinα+bcosβ, то за скобку выносится выражение: √(a²+b²)

В данном случае: a=1 и b=1, тогда за скобку выносим √(1²+1²)=√2

$sin a+cosa= sqrt{2} ( frac{sin a}{ sqrt{2} } + frac{cosa}{ sqrt{2} } )=sqrt{2}(sina * frac{1}{sqrt{2}} +cosa * frac{1}{sqrt{2}} )$

Зная, что cos(π/4)=1/√2 и sin(π/4)=1/√2

$sqrt{2}(sina * frac{1}{sqrt{2}} +cosa * frac{1}{sqrt{2}} )=sqrt{2}(sina * sin frac{ pi }{4} +cosa * cos frac{ pi }{4} )$

Теперь сворачиваем это выражение по формуле косинуса разности:
cosα*cosβ+sinα*sinβ =cos(α-β)

$sqrt{2}(sina * sin frac{ pi }{4} +cosa * cos frac{ pi }{4} )= sqrt{2} (cosa * cos frac{ pi }{4}+sina * sin frac{ pi }{4})= \ \ =sqrt{2} cos(a- frac{ pi }{4} )$

И наконец, так как косинус - четная функция, то выражение в скобках можно домножить на -1, то есть

$sqrt{2} cos(a- frac{ pi }{4} )=sqrt{2} cos( frac{ pi }{4} -a)$

Сокращенное доказательство:

$sin a+cosa= sqrt{2} ( frac{sin a}{ sqrt{2} } + frac{cosa}{ sqrt{2} } )=sqrt{2}(sina * frac{1}{sqrt{2}} +cosa * frac{1}{sqrt{2}} )= \ \ sqrt{2}(sina * sin frac{ pi }{4} +cosa * cos frac{ pi }{4} )= sqrt{2} (cosa * cos frac{ pi }{4}+sina * sin frac{ pi }{4})= \ \ =sqrt{2} cos(a- frac{ pi }{4} )=sqrt{2} cos( frac{ pi }{4} -a)$