profile
Опубликовано 5 лет назад по предмету Математика от Kerek900

Высшая математика. Интегралы и производные

  1. Ответ
    Ответ дан gartenzie
    №2

    а) f'_x (x) = 9 ( frac{x}{|x|} ( 1 + x^{-2} )^{ -frac{1}{2} } )'_x = 9 frac{x}{|x|} x^{-3} ( 1 + x^{-2} )^{ -frac{3}{2} } =

    = frac{9}{x^2|x|( 1 + frac{1}{x^2} )^{ frac{3}{2} } } = frac{9}{ sqrt{ ( x^2 + 1 )^3 } } ;

    f'_x ( 2 sqrt{2} ) = frac{9}{ sqrt{ ( ( 2 sqrt{2} )^2 + 1 )^3 } } = frac{9}{ sqrt{ ( 8 + 1 )^3 } } = frac{9}{ sqrt{ 3^{ 2 cdot 3 } } } = frac{3^2}{3^3} = frac{1}{3} ;


    б) f'_x (x) = ( cos{2x} + frac{ 2 cos{2x} cdot sin{2x} }{2} )'_x = - 2 sin{2x} + ( frac{ sin{4x} }{2} )'_x =

    = - 2 sin{2x} + 2 cos{4x} = 2 ( cos{4x} - sin{2x} ) ;

    f'_x ( frac{pi}{8} ) = 2 ( cos{ ( 4 cdot frac{pi}{8} ) } - sin{ ( 2 cdot frac{pi}{8} ) } ) = 2 ( cos{ frac{pi}{2} } - sin{ frac{pi}{4} } ) = 2 ( 0 - frac{ sqrt{2} }{2} ) = -sqrt{2} ;


    О т в е т :

    a) f'_x ( 2 sqrt{2} ) = frac{1}{3} ;

    б) f'_x ( frac{pi}{8} ) = -sqrt{2} .




    №4 y^2 dx = e^x dy ;

    e^{-x} dx = y^{-2} dy ;

    intlimits{ e^{-x} } , dx = intlimits{ y^{-2} } , dy ;

    -intlimits{ e^{-x} } , d(-x) = frac{1}{-2+1} y^{-2+1} + C ;

    e^{-x} = y^{-1} + C ;

    frac{1}{e^x} = frac{1}{y} + C ;


    Подставим частные значения: (x;y) = (0;1) :

    frac{1}{e^0} = frac{1}{1} + C ;

    1 = 1 + C ;

    C = 0 ;


    Тогда: frac{1}{e^x} = frac{1}{y} + 0 ;

    frac{1}{e^x} = frac{1}{y} ;



    О т в е т : y = e^x .






    №7 странная задача.

    Вычислим для начала точное значение:

    intlimits^5_0 { ( 3 x^2 + 2 ) } , dx = ( x ( x^2 + 2 ) ) |^5_0 = 5 ( 5^2 + 2 ) - 0 ( 0^2 + 0 ) =

    = 5 ( 25 + 2 ) = 5 cdot 27 = 135 ;


    Теперь приблизительное:

    intlimits^5_0 { ( 3 x^2 + 2 ) } , dx approx Sigmalimits^{k=10}_{k=1} ( ( 3 ( k h - frac{h}{2} )^2 + 2 ) h ) =

    = Sigmalimits^{k=10}_{k=1} ( ( 3 h^2 ( k - frac{1}{2} )^2 + 2 ) h ) = 3 h^3 Sigmalimits^{k=10}_{k=1} ( k - frac{1}{2} )^2 + Sigmalimits^{k=10}_{k=1} 2h =

    = 3 h^3 Sigmalimits^{k=10}_{k=1} ( k^2 - k + frac{1}{4} ) + 2h cdot 10 =

    = 3 h^3 ( Sigmalimits^{k=10}_{k=1} k^2 - Sigmalimits^{k=10}_{k=1} k + Sigmalimits^{k=10}_{k=1} (frac{1}{4} ) ) + 20h ;


    Sigmalimits^{k=n}_{k=1} k = frac{n(n+1)}{2} ;

    Sigmalimits^{k=n}_{k=1} k^2 = frac{n(n+1)(2n+1)}{6} ;


    intlimits^5_0 { 3 x^2 + 2 } , dx approx 3 h^3 ( frac{10(10+1)(2 cdot 10+1)}{6} - frac{10(10+1)}{2} + frac{10}{4} ) + 20h =

    = 3 h^3 ( frac{ 5 cdot 11 cdot 21 }{3} - 5 cdot 11 + 2.5 ) + 20h =

    = 3 h^3 ( 5 cdot 11 cdot 7 - 5 cdot 11 + 2.5 ) + 20h = 3 h^3 ( 5 cdot 11 ( 7 - 1 ) + 2.5 ) + 20h =

    = 3 h^3 ( 5 cdot 11 cdot 6 + 2.5 ) + 20h = 3 h^3 ( 330 + 2.5 ) + 20h =

    = 3 cdot 332.5 h^3 + 20h = 997.5 h^3 + 20h = h ( 997.5 h^2 + 20 ) =

    = 0.5 ( 997.5 cdot 0.5^2 + 20 ) = 0.5 ( 249.375 + 20 ) = 0.5 cdot 269.375 = 134.6875 ;


    О т в е т :

    intlimits^5_0 { 3 x^2 + 2 } , dx = 135 ;

    При подсчёте этого интеграла численно
    с шагом h = 0.5 , с значениями функции
    в равноудалённых от краёв шага точках, получим:

    intlimits^5_0 { 3 x^2 + 2 } , dx approx Sigmalimits^{k=10}_{k=1} ( ( 3 ( k h - frac{h}{2} )^2 + 2 ) h ) = 134.6875 .
    1. Ответ
      Ответ дан gartenzie
      Я ещё помарки исправляю...
Самые новые вопросы
Julia2101
Математика - 5 лет назад

Решите уравнения: а) 15 4 ∕19 + x + 3 17∕19 = 21 2∕19; б) 6,7x - 5,21 = 9,54

na2005stud
Информатика - 5 лет назад

Помогите решить задачи на паскаль.1) дан массив случайных чисел (количество элементов вводите с клавиатуры). найти произведение всех элементов массива.2) дан массив случайных чисел (количество элементов вводите с клавиатуры). найти сумму четных элементов массива.3) дан массив случайных чисел (количество элементов вводите с клавиатуры). найти максимальный элемент массива.4) дан массив случайных чисел (количество элементов вводите с клавиатуры). найти максимальный элемент массива среди элементов, кратных 3.

Оксаночка1233
География - 5 лет назад

Почему япония - лидер по выплавке стали?

Анимешка2
Математика - 5 лет назад

Чему равно: 1*(умножить)х?     0*х?

laraizotova
Русский язык - 5 лет назад

В каком из предложений пропущена одна (только одна!) запятая?1.она снова умолкла, точно некий внутренний голос приказал ей замолчать и посмотрела в зал. 2.и он понял: вот что неожиданно пришло к нему, и теперь останется с ним, и уже никогда его не покинет. 3.и оба мы немножко удовлетворим свое любопытство.4.впрочем, он и сам только еле передвигал ноги, а тело его совсем застыло и было холодное, как камень. 5.по небу потянулись облака, и луна померкла. 

Информация

Посетители, находящиеся в группе Гости, не могут оставлять комментарии к данной публикации.