Опубликовано 5 лет назад по предмету Математика от GUNKINA

Мама каждый день выдает Саше на десерт по одному фрукту. У нее есть три одинаковых яблока, пять одинаковых груш, два одинаковых персика и один апельсин. Сколькими способами она может выдать эти фрукты за 11 дней?

Ответ

Ответ дан gartenzie

*** подробное разжёвывание для тех, кто тоже не понимает

В большом классе задач по комбинаторике самый быстрый путь подсчёта осуществляется специальным приёмом, заключающимся в том, что мы «метим» (нумеруем, делаем различимыми) неразличимые объекты, делая этой операцией их различимыми. При этом оказывается, что в таком предварительном подсчёте числе комбинаций различаются наборы [апельсины №1 и №2] и [апельсины №2 и №1], поэтому конечных комбинаций нужно брать в два раза меньше, чем предварительных.

Если мы «помечаем» не два, а три неразличимых объекта и начинаем их различать на этапе промежуточных вычислений, то предварительный подсчёт числа комбинаций оказывается в $6$ раз больше, поскольку мы различаем $6$ комбинаций ABC, ACB, BAC, BCA, CAB и CBA. Поэтому для получения конечного числа комбинаций нужно промежуточный вариант разделить на $6=3!$

При любом другом числе $n$ условно-различимых объектов нужно делить промежуточное число на $n!$

$3$ яблока $+ 5$ груш $+ 2$ персика $+$ апельсин $= 11$ объектов.

Итак, всего у мамы есть 11 объектов. Пометим все изначально неразличимые объекты, так что получится первое яблоко, второе яблоко, третье яблоко, первая груша, вторая груша и т.п.

Всего все такие условно-различимые объекты можно переставить $(11!)$ способами.

НО ! Среди них не различимы $3$ яблока, а значит $(3!)$ способов всех перестановок не различимы и нужно разделить на $(3!) .$

НО ! Среди них не различимы $5$ груш, а значит $(5!)$ способов всех перестановок не различимы и нужно разделить на $(5!) .$

НО ! Среди них не различимы $2$ персика, а значит $2!=2$ способа всех перестановок не различимы и нужно разделить на $2 .$

Всего, с учётом реальной неразличимости, поучим, что число вариантов $N$ равно:

$N = frac{11!}{5!3!2} = frac{ 11 cdot 10 cdot 9 cdot 8 cdot 7 cdot 6 }{3!2} = 11 cdot 10 cdot 9 cdot 4 cdot 7 = 27 720$

О т в е т : $27 720$ вариантов.

Все эти $27 720$ теоретически, конечно, можно было бы выписать, чтобы проиллюстрировать всю картину вариантов, но это заняло бы очень большой объём трудно воспринимаемого текста, поэтому, если уж и попытаться перечислить все возможные варианты, то тогда лучше составить полностью аналогичную модель на меньших числах. Возьмём не $3 ,$ а $2$ яблока, не $5 ,$ а $4$ груши, избавимся от персиков и оставим апельсин.

Тогда по такой же формуле, найдём, что общее количество вариантов их последовательной раскладки будет: $N_1 = frac{7!}{4!2} = frac{ 7 cdot 6 cdot 5 }{2} = 7 cdot 3 cdot 5 = 105$ ;

И Л Л Ю С Т Р А Ц И Я . В А Р И А Н Т О В . раскладки двух яблок, четырёх груш и апельсина:

Далее: Я – яблоко, г – груша и @ – апельсин.
При помощи функции поиска в браузере (Ctrl+F) можно проверить, что любая комбинация встречается всего один раз, а любая комбинация, которую можно было бы придумать, уже записана в перечне комбинаций.

1. ЯЯгггг@
2. ЯЯггг@г
3. ЯЯгг@гг
4. ЯЯг@ггг
5. ЯЯ@гггг

6. ЯгЯггг@
7. ЯгЯгг@г
8. ЯгЯг@гг
9. ЯгЯ@ггг

10. ЯггЯгг@
11. ЯггЯг@г
12. ЯггЯ@гг

13. ЯгггЯг@
14. ЯгггЯ@г

15. ЯггггЯ@
16. Ягггг@Я

17. Яггг@Яг
18. Яггг@гЯ

19. Ягг@Ягг
20. Ягг@гЯг
21. Ягг@ггЯ

22. Яг@Яггг
23. Яг@гЯгг
24. Яг@ггЯг
25. Яг@гггЯ

26. Я@Ягггг
27. Я@гЯггг
28. Я@ггЯгг
29. Я@гггЯг
30. Я@ггггЯ

31. гЯЯггг@
32. гЯЯгг@г
33. гЯЯг@гг
34. гЯЯ@ггг

35. гЯгЯгг@
36. гЯгЯг@г
37. гЯгЯ@гг

38. гЯггЯг@
39. гЯггЯ@г

40. гЯгггЯ@
41. гЯггг@Я

42. гЯгг@Яг
43. гЯгг@гЯ

44. гЯг@Ягг
45. гЯг@гЯг
46. гЯг@ггЯ

47. гЯ@Яггг
48. гЯ@гЯгг
49. гЯ@ггЯг
50. гЯ@гггЯ

51. ггЯЯгг@
52. ггЯЯг@г
53. ггЯЯ@гг

54. ггЯгЯг@
55. ггЯгЯ@г

56. ггЯггЯ@
57. ггЯгг@Я

58. ггЯг@Яг
59. ггЯг@гЯ

60. ггЯ@Ягг
61. ггЯ@гЯг
62. ггЯ@ггЯ

63. гггЯЯг@
64. гггЯЯ@г

65. гггЯгЯ@
66. гггЯг@Я

67. гггЯ@Яг
68. гггЯ@гЯ

69. ггггЯЯ@
70. ггггЯ@Я
71. гггг@ЯЯ

72. ггг@ЯЯг
73. ггг@ЯгЯ
74. ггг@гЯЯ

75. гг@ЯЯгг
76. гг@ЯгЯг
77. гг@ЯггЯ

78. гг@гЯЯг
79. гг@гЯгЯ
80. гг@ггЯЯ

81. г@ЯЯггг
82. г@ЯгЯгг
83. г@ЯггЯг
84. г@ЯгггЯ

85. г@гЯЯгг
86. г@гЯгЯг
87. г@гЯггЯ

88. г@ггЯЯг
89. г@ггЯгЯ
90. г@гггЯЯ

91. @ЯЯгггг
92. @ЯгЯггг
93. @ЯггЯгг
94. @ЯгггЯг
95. @ЯггггЯ

96. @гЯЯггг
97. @гЯгЯгг
98. @гЯггЯг
99. @гЯгггЯ

100. @ггЯЯгг
101. @ггЯгЯг
102. @ггЯггЯ

103. @гггЯЯг
104. @гггЯгЯ
105. @ггггЯЯ
1. Ответ
  
  Ответ дан xxxeol
  
  Как я говорю -ПРОЦЕСС ПОШЕЛ. КОНЕЦ СВЯЗИ.
2. Ответ
  
  Ответ дан gartenzie
  
  Да, да. Никогда не было – и вот опять.
3. Ответ
  
  Ответ дан xxxeol
  
  Если у мамы 11 фруктов на месяц, то 11 дней фрукт ЕСТЬ, а 19 НЕТ и никаких 27000 способов у неё НЕТ.
4. Ответ
  
  Ответ дан IUV
  
  с ответом согласен, особая благодарность за терпение и за подробность
5. Ответ
  
  Ответ дан gartenzie
  
  Спасибо!

Самые новые вопросы

Математика - 5 лет назад

Решите уравнения: а) 15 4 ∕19 + x + 3 17∕19 = 21 2∕19; б) 6,7x - 5,21 = 9,54

Информатика - 5 лет назад

Помогите решить задачи на паскаль.1) дан массив случайных чисел (количество элементов вводите с клавиатуры). найти произведение всех элементов массива.2) дан массив случайных чисел (количество элементов вводите с клавиатуры). найти сумму четных элементов массива.3) дан массив случайных чисел (количество элементов вводите с клавиатуры). найти максимальный элемент массива.4) дан массив случайных чисел (количество элементов вводите с клавиатуры). найти максимальный элемент массива среди элементов, кратных 3.

География - 5 лет назад

Почему япония - лидер по выплавке стали?

Математика - 5 лет назад

Чему равно: 1*(умножить)х? 0*х?

Русский язык - 5 лет назад

В каком из предложений пропущена одна (только одна!) запятая?1.она снова умолкла, точно некий внутренний голос приказал ей замолчать и посмотрела в зал. 2.и он понял: вот что неожиданно пришло к нему, и теперь останется с ним, и уже никогда его не покинет. 3.и оба мы немножко удовлетворим свое любопытство.4.впрочем, он и сам только еле передвигал ноги, а тело его совсем застыло и было холодное, как камень. 5.по небу потянулись облака, и луна померкла.