В треугольнике ABC на стороне BC взята точка M таким образом, что расстояние от вершины B  до центра тяжести треугольника AMC равно расстоянию от вершины C до центра тяжести треугольника AMB. Докажите, что BM=DC, где D - основание высоты, опущенной на BC из вершины A.

Да уж задачка не из легких попытаюсь все объяснить по шагам опустим из точки b и точки с медианы на сторону am в треугольниках bam и сам далее из точки a в этих же треугольниках опустим еще 2 медианы на стороны bm и mc тогда получим наши центры тяжести тк если обозначить пересечения тех медиан с am и обозначим ее o то по свойству медиан треугольника они делятся в равном отношении 2:1 тогда если q,r точки пересечения медиан то bq/qo=cr/ro=2:1 надеюсь понятно тогда треугольники orq и obc подобны по 2 пропорциональным сторонам и общему углу o между ними в тогда и соответственные углы при основаниях bc и rq равны а тогда bc параллельно rq то есть расстоянию между центрами тяжести тк br=сq по условию то тк bc парал rq то высоты опущенные из r и q на bc будут равны а тогда прям треугольники ,где w t основания этих высот треугольники qwc и rtb равны по гипотенузе и катету а тогда углы bcq и rbc равны в силу равенства этих треугольников а тогда треугольники bqc и rbc равны по 2 сторонам одна из которых общая и углу между ними а отсюда следует равенство сторон bq и rc и наконец вспомнив что наши треугольники qor и obc подобны то в силу равенства тех сторон следует равенство Bo и oc а тогда а тогда треугольник boc равнобедренный 2 часть напишу в комментарие а то уже место маловато