две окружности касаются друг друга в точке К . Продолжение хорды АВ первой окружности касается второй окружности в точке М . Найдите АК , если ВК = 12 , АМ = 24 , ВМ = 18 . 

Как всегда в таких случаях, все решает подобие, которое вылезает в самом неожиданном месте.

СМ ЧЕРТЕЖ.

Прямая КN перпендикулярна отрезку, соединяющему центры. Само собой, это общая касательная в точке К.

В данном случае подобны треугольники KBN и AKN - у них есть общий угол KNA, а углы KAB и BKN измеряются половиной дуги КВ, то есть тоже равны.

АК/KB = KN/NB = AN/KN;

Кроме того, KN = NM по свойству касательной. Вобщем то уже все решено, осталось вычислить.

Обозначим для краткости записи АК = а; KN = MN = x; BN = y;

Учтем, что КВ = 12; MB = x + y = 18; AN = 24 - 18 + y = 6 + y;

Получаем

a/12 = x/y = (6 + y)/x; x + y = 18;

подставляем y = 18 - x во второе равенство, получаем уравнение для х, решив, подставляем в первое, находим а :)

x/(18 - x) = (24 - x)/x; это даже не квадратное уравнение, получаем

24*18 = (24 + 18)*x; x = 72/7;

a/12 = (24 - x)/x = (24/x - 1) = 7/3 - 1 = 4/3;

a = 16;