Опубликовано 4 года назад по предмету Геометрия от bearcab

Найти площадь параллелограмма. Если его наибольшая диагональ равна 5 см. А две его высоты, соответственно равны 3 см и 2 см

Ответ

Ответ дан Матов

Обозначим стороны как $a;b$ . И пусть $a>b$ тогда большая высота опускается на меньшую сторону , меньшая на большую . Тогда площадь с одной стороны равна $S=3b$ , с другой стороны $S=2a$ .
Вспомним что угол между высотами проведенные с тупого угла равен острому углу параллелограмма.Учитывая это обозначим угол между высотами как $alpha$ тогда острый угол равен $alpha$ следовательно тупой $180- alpha$ . Из прямоугольных треугольников которые образовались после проведения высота соответственно на стороны $a ;b$ равны $a=frac{3}{sina}\ b=frac{2}{sina}$ тогда площадь запишится как
$S=frac{6}{sin^2a}*sina=frac{6}{sina}$
но и она же равна $S=frac{2a^2}{3}*sina$ приравняем
$frac{6}{sina}=frac{2a^2}{3}*sina\ 18=2a^2*sin^2a\ a*sina=3$ -3 нам не подходит потому что синус в $I;II$ четверти положителен
Диагональ выразим по теореме косинусов
$5^2=a^2+frac{4a^2}{9}-2*a*frac{2a}{3}*cos(180-a) \ 5^2=a^2+frac{4a^2}{9}+frac{4a^2}{3}*cosa\ cosa=frac{25-a^2-frac{4a^2}{9}}{frac{4a^2}{3}}\$
с первого равенство выразим синус через косинус затем подставим и решим уравнение перейдем в общем к такому
$sqrt{1-frac{9}{a^2}}=frac{225-13a^2}{12a^2}\$ решая это уравнение получим
$a=frac{3sqrt{253+48sqrt{21}}}{5}\ b=frac{6sqrt{253+48sqrt{21}}}{15}\ sina=frac{3}{frac{3sqrt{253+48sqrt{21}}}{5}}\\ S=frac{3sqrt{253+48sqrt{21}}}{5}*frac{6sqrt{253+48sqrt{21}}}{15}*frac{3}{frac{3sqrt{253+48sqrt{21}}}{5}}=frac{6sqrt{48sqrt{21}+253}}{5}$
оно примерно равна 26
1. Ответ
  
  Ответ дан bearcab
  
  как поставить наилучшее решение?
2. Ответ
  
  Ответ дан Матов
  
  без понятия
3. Ответ
  
  Ответ дан Матов
  
  я бы подождал на счет лучшего , пусть проверят