Треугольник ABC - равнобедренный, AB=BC=5, AC=4.
Найдите периметр ортотреугольника

Ответ: 6,72

Объяснение: Ортотреугольником называют треугольник, вершинами которого являются  основания высот некоторого треугольника.

                     *   *   *

 На рисунке точки К, М и Н - основания  высот треугольника АВС. ⇒ ∆КМН - его ортотреугольник.

Решение:

 Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой. ⇒ АН=СН=4:2=2.

Прямоугольные ⊿ АКС=⊿ СМА по равному острому углу ( ∠А=∠С как углы при основании равнобедренного  треугольника) и общей гипотенузе АС.

Медианы прямоугольных треугольников равны половине гипотенузы.. КН=МН=4:2=2. Следовательно, АН=КН, СН=МН, – ∆ АКН и ∆ СМН равнобедренные,  при этом углы при их основаниях равны углам при основании ∆ АВС.  Поэтому  

∆ АКН и ∆СМН  подобны ∆ АВС.

Из подобия следует НС:ВС=МС:АС ⇒ 2:5=МС:4, откуда МС=8/5=1,6

ВК=ВМ=ВС-СМ=5-1,6=3,4

∆ КВМ~∆ АВС ( оба равнобедренные с общим острым углом В) ⇒

ВК:АВ=КМ:АС ⇒ КМ=3,4•4:5=2,72

Р(КМН)=КМ+КН+МН=2,72+2+2=6,72 ( ед. длины)