висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута дорівнює h. Відстань від вершини прямого кута до точки перетину бісектриси, проведеної з вершини меншого гострого кута з малим катетом дорівнює d. Знайти довжину меншого катета і обчислити її довжину, якщо h=7см, а d=5см.

Пусть имеем прямоугольный треугольник АВС с прямым углом В.

Биссектриса АЕ пересекает ВС в точке Е, ВЕ = 5, высота из В равна 7.

Примем ВС = х, АВ = у.

Тогда АС = √(х² + у²).

Свойство высоты из прямого угла:

7 = (АВ*ВС)/АС = ху/√(х² + у²). Отсюда ху = 7√(х² + у²).

Свойство биссектрисы:

5/у = (х - 5)/√(х² + у²).

Из этой пропорции получаем ху - 5у = 5√(х² + у²).

В этом уравнении заменим ху из первого свойства: ху = 7√(х² + у²).

7√(х² + у²) - 5у = 5√(х² + у²).

Отсюда получаем 2√(х² + у²) = 5у.

Возведём в квадрат:

4х² + 4у² = 25у² или 4х² = 21у², у² = 4х²/21, у = 2х/√21.

Возведём первое свойство в квадрат:

(х² * у²)/(х² + у²) = 49 и подставим у² = 4х²/21.

(х²*4х²)/(21*(х² + (4х²/21))) = 49.

4х^4/25x² = 49 или 4x² = 25*49.

Извлекаем корень: 2х = 5*7 = 35, отсюда х = 35/2 = 17,5.

Меньший катет - это АВ = у = 2х/√21 = 35/√21 = 5√21/3.