два угла треугольника равны 20 и 40 градусов, а радиус описанной окружности - 10. Найдите большую сторону треугольника.

Сделаем рисунок.
Обозначим вершины треугольника А, В, С. 
Диаметр пусть будет АD.
Сума  углов треугольника 180°ВАС+ВСА=20°+40°=60°. 
Угол АВС=180°-60°=120°. 
Так как углы треугольника вписанные,
угол АВС опирается на дугу 120°*2=240°.
 Соединим С и D
Расмотрим треугольник АСD
 Посколькоу дуга АDC,  на которую опирается угол АВС, равна 240°,
 дуга АВС равна 360°-240°=120°, а вписанный угол СDА,опирающийся на нее,  равен половине градусной меры этой дуги и равен 120°:2=60°.
Так как гол АСD опирается на диаметр АD, треугольник АСD - прямоугольный. 
Отсюда угол САD=30°. 
АС, большая сторона треугольника АВС, противолежит углу 60°   
АС=АD*sin(60°)=(10*√3):2=5√3
--------------------------------------
Вариант решения: 
Угол АВС=180-20-40=120 градусов. 
Рассмотрим четырехугольник АВСD. Он вписанный в окружность. 
Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180 градусов. 
Следовательно, угол АDC равен 
180-120=60 градусов. 
Так как  угол АСD опирается на диаметр, треугольник АСD - прямоугольный.
АС, большая сторона треугольника АВС, противолежит углу 60°   
АС=АD*sin(60°)=(10*√3):2=5√3