В треуг. АВС угол В 120. АА1, ВВ1, СС1 – биссектрисы его внутренних углов. Док-ть, что угол А1В1С1 – прямой.

Обозначения AC = b; AB = c; BC = a; BB1 = z; BC1 = x; BA1 = y; A1C1 = p; A1B1 = n; B1C1 = m;

Угол ABB1 = угол B1BC = B/2 = 60°; поэтому косинусы этих углов равны 1/2;

угол ABC = B = 120°, его косинус равен -1/2. 

(Немного теории - на всякий случай)

Площадь треугольника ABB1 равна z*c*sin(B/2)/2; площадь треугольника ВВ1С равна z*a*sin(B/2)/2; поэтому

c*a*sin(B)/2 = z*c*sin(B/2)/2 +z*a*sin(B/2)/2; 

откуда z = 2*a*c*cos(B/2)/(a + c)

(это - известная формула для длины биссектрисы).

При В = 120°; z = a*c/(a + c);

Из известного свойства биссектрисы внутреннего угла x = c*a/(b+a); y = a*c/(b+c);

Далее, из теоремы косинусов для треугольников BC1B1, BB1A1 и BC1A1

m^2 = x^2 + z^2 - x*z;

n^2 = y^2 + z^2 - y*z;

p^2 = x^2 + y^2 + x*y; 

Поэтому 

m^2 + n^2 - p^2 = 2*z^2 - x*y - x*z - y*z;

Это равно

2*(a*c/(a + b))^2 - (a*c)^2/((b + c)*(b + a)) - (a*c)^2/((a + c)*(b + a)) - (a*c)^2/((a + c)*(b + c));

Если вынести множитель (a*c)^2/((a+c)^2*(b + c)*(b + a)) "за скобки", то В СКОБКАХ останется

2*(b + c)*(b + a) - (a + c)^2 - (a + c)*(b + c) - (a + c)*(a + b) =

(половина первого слагаемого комбинируется с третьим, другая половина - с четвертым слагаемым)

= (b + c)*(b + a - c - a) + (b + a)*(b + c - c - a) - (a + c)^2 = b^2 - c^2 + b^2 - a^2 - a^2 - c^2 - 2*a*c = 2*(b^2 - (a^2 + c^2 + a*с)) = 0; по теореме косинусов для треугольника АВС.

Поэтому m^2 + n^2 = p^2, то есть А1В1С1 - прямоугольный треугольник, угол А1В1С1 = 90°, ч.т.д