Опубликовано 6 лет назад по предмету Геометрия от FalseKinG

Найти площадь прямоугольного треугольника, если известно, что радиус вписанного в треугольник круга равен r, а описанного - R.

Ответ

Ответ дан Artem112

Прямоугольный треугольник с катетами а и b и гипотенузой с. По теореме Пифагора:
$a^2+b^2=c^2$
Зная, что гипотенуза равна двум радиусам описанной окружности, запишем:
$a^2+b^2=(2R)^2 \ a^2+b^2=4R^2$
Добавим к обеим частям неравенства слагаемое 2аb и преобразуем его в правой части:
$a^2+b^2+2ab=4R^2+ 2ab \ a^2+b^2+2ab=4R^2+ frac{4ab}{2}$
Так как площадь прямоугольного треугольник равна половине произведения его катетов, то:
$(a+b)^2=4R^2+4S \ a+b=2 sqrt{ R^2+S}$
Зная, что площадь треугольника равна половине произведения его периметр на радиус вписанной окружности, получим:
$S= frac{a+b+c}{2}cdot r$
Подставим вместо а+b и с известные выражения:
$S= frac{2 sqrt{ R^2+S}+2R}{2}cdot r$
Выполняем преобразования:
$frac{S}{r} = sqrt{ R^2+S}+R \ frac{S}{r} -R= sqrt{ R^2+S} \$
Возведем обе части в квадрат:
$frac{S^2}{r^2}- frac{2SR}{r} +R^2 =R^2+S$
R² взаимно уничтожается, сокращаем на S:
$frac{S}{r^2}- frac{2R}{r} =1$
Домножаем на r:
$S-2Rr =r^2 \ Rightarrow S=2Rr+r^2=r(2R+r)=r(D+r)$
Площадь прямоугольного треугольника равна сумме удвоенного произведения радиусов вписанной и описанной окружности и квадрата радиуса вписанной окружности. (Или: площадь прямоугольного треугольника равна произведению радиуса вписанной окружности на сумму его же с диаметром описанной окружности)
Ответ: 2Rr+r²
Ответ

Ответ дан PhysM

Для решения данной задачи воспользуемся такой теоремой:

Центр окружности описанной около прямоугольного треугольника, делит гипотенузу пополам.

Тогда имеем прямоугольный треугольник со сторонами:

$a$

$b$

$c=2R$

Исходя из того что треугольник прямоугольный находим катеты:

$a^2+b^2=c^2=4R^2$

Так как площадь прямоугольного треугольника равна: $S=frac{ab}{2}$

получаем $ab=2S$

тогда $(a+b)^2=a^2+b^2+2ab=a^2+b^2+4S=4R^2+4S$

Получаем:

$a+b=sqrt{4R^2+4S}$

Зная, что площадь равна: $S=pr=frac{(a+b+c)}{2}*r$

Получаем: $a+b+c=frac{2S}{r}$

тогда получаем:

$a+b=sqrt{4R^2+4S}$

Прибавим $c$ с обеих сторон:

$a+b+c=sqrt{4R^2+4S}+c$

т.к $c=2R$ Получаем:

$a+b+c=sqrt{4R^2+4S}+2R$

так как $a+b+c=frac{2S}{r}$

получаем:

$sqrt{4R^2+4S}+2R=frac{2S}{r}$

$sqrt{4R^2+4S}=frac{2S}{r}-2R$

$4R^2+4S=(frac{2S}{r}-2R)^2$

$4R^2+4S=frac{4S^2}{r^2}-frac{8SR}{r}+4R^2$

$4S=frac{4S^2}{r^2}-frac{8SR}{r}$

Делим все на $4S$ :

$1=frac{S}{r^2}-frac{2R}{r}$

$r^2=S-2Rr$

Откуда получаем:

$S=r^2+2Rr$

Ответ: $S=r^2+2Rr$

Самые новые вопросы

Математика - 6 лет назад

Решите уравнения: а) 15 4 ∕19 + x + 3 17∕19 = 21 2∕19; б) 6,7x - 5,21 = 9,54

Информатика - 6 лет назад

Помогите решить задачи на паскаль.1) дан массив случайных чисел (количество элементов вводите с клавиатуры). найти произведение всех элементов массива.2) дан массив случайных чисел (количество элементов вводите с клавиатуры). найти сумму четных элементов массива.3) дан массив случайных чисел (количество элементов вводите с клавиатуры). найти максимальный элемент массива.4) дан массив случайных чисел (количество элементов вводите с клавиатуры). найти максимальный элемент массива среди элементов, кратных 3.

География - 6 лет назад

Почему япония - лидер по выплавке стали?

Математика - 6 лет назад

Чему равно: 1*(умножить)х? 0*х?

Русский язык - 6 лет назад

В каком из предложений пропущена одна (только одна!) запятая?1.она снова умолкла, точно некий внутренний голос приказал ей замолчать и посмотрела в зал. 2.и он понял: вот что неожиданно пришло к нему, и теперь останется с ним, и уже никогда его не покинет. 3.и оба мы немножко удовлетворим свое любопытство.4.впрочем, он и сам только еле передвигал ноги, а тело его совсем застыло и было холодное, как камень. 5.по небу потянулись облака, и луна померкла.