Точки с координатами А(0,2,4), B(2,2,4), C(2,4,2), D(0,4,2).
Нужно с помощью векторов доказать,что ABCD-квадрат

ABCD - не квадрат, а прямоугольник!!!

Общее правило:

Если заданы точки A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2)то вектор AB задается выражением

AB=(x2-x1)i+(y2-y1)j+(z2-z1)k

квадрат длины вектора (AB)^2=(x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2

Для заданных в задаче точек, векторы сторон

AB=2i+0j+0k

BC=0i+2j-2k

DC=2i+0j+0k

AD=0i+2j-2k

квадраты их длин

(AB)^2=4+0+0=4

(BC)^2=0+4+4=8     (!!!)

(DC)^2=4+0+0=4

(AD)^2=0+4+4=8     (!!!)

а длины

AB=2

BC=2*sqrt(2)     (!!!)

DC=2

AD=2*sqrt(2)     (!!!)

а у квадрата все стороны равны!

Значит, ABCD-не квадрат!

Определить, что ABCD - прямоугольник можно доказав, что углы между векторами в каждой вершине - прямые, т.е. =90 градусов (векторы перпендикулярны друг другу).

Для этого нужно вычислить скалярное произведение этих векторов, если оно =0, значит векторы перпендикулярны и угол между ними - прямой.

Проверим это

(AB*BC)=2*0+0*2-0*2=0

(BC*СD)=0*2+2*0-2*0=0

(CD*AD)=2*0+0*2-0*2=0

(AD*AB)=0*2+2*0-2*0=0

Все верно, все углы прямые, ABCD - прямоугольник (но не квадрат).