ребро правильного тетраэдра равно a. найти радиус шара, касающегося боковых ребер тетраэдра в вершинах его основания.

с рисовальками всегда было плохо, поэтому на пальцах)

центр шара будет точка пересечения высоты от каждого угла основания с высотой терраэдра. Одновременно точка пересечения будет точкой пересечения медиан от углов основания к высотам противоположных сторон, а значит соотношения будет2/1 считая от основания. радиусом будет большая половинка, то есть 2*х/3, где х-проведенная высота. ее находим из прмоугольного образованного треугольника. (все таки попробовала сдлеать чертеж)

рассмотрим основание. выота основания, одновременно и гипотенуза желаемого треугольника что выше = а*корень из трех, (где а - сторона тетраэдра)

второй катет опять таки лежит на пересечении медиан и равен 1/3 высоте боковой грани, которая так же как и высота основания равна а корень из трех. катет равен а*корень из трех/3

по т.пифагора находим первый катет: он равен 2*а*корень из трех/3

по соотношению о медианах находим радиус: 4*а*корень из трех/9