Задания во вложениях :с прошу помогите!!!!!

Двугранный угол - это угол между плоскостями. Величина двугранного угла равна величине линейного угла с вершиной на линии пересечения плоскостей, стороны которого перпендикулярны ребру двугранного угла (линии пересечения плоскостей).

№1.

1. Пирамида с квадратом в основании.

а) Угол между плоскостями (АВС) и (FDC):

Плоскости пересекаются по прямой DC, значит DC - ребро двугранного угла.

Так как основание пирамиды - квадрат, а высота проецируется в центр основания, пирамида правильная. Тогда боковые грани - равные равнобедренные треугольники.

Пусть Н - середина DC, тогда FH - медиана, а значит и высота равнобедренного треугольника FDC, а ОН - медиана, а значит и высота равнобедренного треугольника DOC (диагонали квадрата равны и точкой пересечения делятся пополам).

Итак, FH⊥DC, OH⊥DC, значит

∠FHO - линейный угол двугранного угла между плоскостями (АВС) и (FDC).

Так как в этой  и остальных задачах нет никаких числовых данных, то, вероятно, речь идет о построении линейного угла.

б) Угол между плоскостями (FDC)  и (FBC):

Плоскости пересекаются по прямой FC - это ребро двугранного угла.

Проведем DH⊥FC.

DC = ВС как стороны квадрата, ∠DCH = ∠BCH так как боковые грани - равные треугольники, СН - общая сторона для треугольников DCH и ВСН, ⇒ они равны по двум сторонам и углу между ними, значит ВН⊥FC.

Итак, DH⊥FC, BH⊥FC, значит

∠DHB - линейный угол между плоскостями (FDC)  и (FBC).

2. Пирамида с ромбом в основании.

а) Угол между плоскостями (АВС) и (FDC):

Плоскости пересекаются по прямой DC, значит DC - ребро двугранного угла.

Проведем ОН⊥DC. ОН - проекция наклонной FH на плоскость (АВС), значит FH⊥DC по теореме о трех перпендикулярах.

Итак, ОН⊥DC, FH⊥DC, ⇒

∠FHO - линейный угол двугранного угла между плоскостями (АВС) и (FDC).

б) Угол между плоскостями (FDC)  и (FBC):

Плоскости пересекаются по прямой FC - это ребро двугранного угла.

Проведем DH⊥FC. Докажем, что и ВН⊥DC.

ΔBFD равнобедренный, так как в нем FO - высота и медиана,

FB = FD,

DC = BC как стороны ромба,

FC - общая сторона для треугольников DFC и BFC, значит они равны по трем сторонам. Значит ∠FCD = ∠FCB.

Тогда в треугольниках DCH и ВСН:

    ∠DCH = ∠ВСН как доказано выше,

    DC = BC как стороны ромба,

    НС - общая сторона,

тогда треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.

Значит и ВН⊥FC.

Итак, DH⊥FC, BH⊥FC, ⇒

∠DHB - линейный угол между плоскостями (FDC)  и (FBC).

№2.

1. Пирамида с прямоугольником в основании.

а) Угол между плоскостями (АВС) и (FDC).

(АВС) ∩ (FDC) = DC - ребро двугранного угла.

ВС⊥DC как смежные стороны прямоугольника, ВС - проекция наклонной FC на плоскость (АВС), значит FC⊥DC по теореме о трех перпендикулярах.

Итак, BC⊥DC, FC⊥DC, ⇒

∠FCB - линейный угол двугранного угла между плоскостями (АВС) и (FDC).

б) Угол между плоскостями (AFB) и (FBC).

(AFB) ∩ (FBC) = FB.

Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна каждой прямой, лежащей в этой плоскости, значит

AB⊥FB, CB⊥FB, ⇒

∠АВС - линейный угол двугранного угла между плоскостями (AFB) и (FBC).

в) Угол между плоскостями (AFD) и (FBC).

AD║ВС, значит AD параллельна плоскости (FBC).

Плоскость (FDC) проходит через AD и пересекает плоскость (FBC), значит линия пересечения плоскостей параллельна AD. Пусть это прямая FO.

FB⊥BC, ⇒ FB⊥FO;

АВ⊥ВС и АВ⊥FB, значит АВ⊥(FBC), тогда

FB - проекция наклонной AF  на плоскость FBC, значит и AF⊥FO по теореме о трех перпендикулярах. Тогда

∠AFB линейный угол двугранного угла между плоскостями (AFD) и (FBC).

2. Пирамида с ромбом в основании.

а) Угол между плоскостями (АВС) и (FDC).

(АВС) ∩ (FDC) = DC - ребро двугранного угла.

Проведем ВН⊥DC, ВН - проекция FH на плоскость (АВС), значит и FH⊥DC по теореме о трех перпендикулярах. Тогда

∠FHB - линейный угол между плоскостями (АВС) и (FDC).

б) Угол между плоскостями (AFB) и (FBC).

(AFB) ∩ (FBC) = FB.

Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна каждой прямой, лежащей в этой плоскости, значит

AB⊥FB, CB⊥FB, ⇒

∠АВС - линейный угол двугранного угла между плоскостями (AFB) и (FBC).

в) Угол между плоскостями (AFD) и (FBC).

AD║ВС, значит AD параллельна плоскости (FBC).

Плоскость (FDC) проходит через AD и пересекает плоскость (FBC), значит линия пересечения плоскостей параллельна AD. Пусть это прямая FO.

FB⊥BC, ⇒ FB⊥FO;

Проведем НВ⊥ВС. Так как НВ перпендикулярна и FB, то

НВ⊥(FBC), тогда НВ - проекция наклонной FH на плоскость (FBC), значит FH⊥BC, а значит и FH⊥FO по теореме о трех перпендикулярах.

Итак, FB⊥FO, FH⊥FO, ⇒

∠HFB - линейный угол двугранного угла между плоскостями (AFD) и (FBC).