В треугольнике АВС проведена медиана ВМ.Угол АВС=150 градусов,АС=12 корней из 2 (см).Радиус окружности,описанной около треугольника МВС,равен 2 корня из 6 (см).Найдите радиус окружности,описанной около треугольника АВМ.

Пусть AB = c; BC = a; АС = b (задано, b = 12*корень(2)); AM = MC = b/2; угол МВС = Ф;

Из теоремы синусов для тр-ка ВМС (R1 - радиус описанной окружности, R1 = 2*корень(6);)

2*R1*sin(Ф) = b/2; отсюда sin(Ф) = b/(4*R1);

Из теоремы синусов для тр-ка ВМA (R2 - радиус описанной окружности, R2 надо найти; В - это угол АВС = 150 градусов)

2*R2*sin(В - Ф) = b/2; отсюда R2 = b/(4*sin(B - Ф));

На самом деле это уже ответ. 

Но для полноты картины надо подставить числа и максимально упростить.

Для начала видно, что

sin(Ф) = 12*корень(2)/(4*2*корень(6)) = корень(3)/2. 

Угол с таким синусом в треугольнике может быть либо 60 градусов, либо 120 (соответственно, cos(Ф) принимает значение либо 1/2 либо (-1/2); )

Если Ф = 60 градусов, то В - Ф = 90 градусов, sin(В - Ф) = 1; и R2 = b/4 = 3*корень(2); 

Если Ф = 120 градусов, то В - Ф = 30 градусов, sin(В - Ф) = 1/2; и R2 = b/2 = 6*корень(2);

У меня получилось 2 решения.