Опубликовано 5 лет назад по предмету Геометрия от NeTroll

Острый угол параллелограмма равен60о, а его площадь равна 11√3, меньшая диагональ равна 10. Найдите большую диагональ параллелограмма.

Ответ

Ответ дан bearcab

Придется, наверное, использовать теорему косинусов. Площадь параллелограмма равна произведению его сторон, умноженного на синус угла между ними. Обозначим одну из сторон через a, а вторую через b. Тогда $S=a*b*sin60^0$ или $11sqrt{3}=a*b*frac{sqrt{3}}{2}$ . Упростив это выражение, получаем, что $a*b=22$ . По теореме косинусов выразим наименьшую диагональ через две стороны. $10^2=a^2+b^2-2*a*b*cos60^0$ . Получается $100=a^2+b^2-2*a*b*frac{1}{2}.$

$100=a^2+b^2-ab$ так как произведение двух сторон равно 22, то $a^2+b^2=122$ Снова по теореме косинусов находится неизвестная диагональ, обозначим AC, находим через две стороны параллелограмма и угол между ними. Угол между ними равен по свойствам параллелограмма $180^0-60^0=120^0$

$AC^2=a^2+b^2-2*a*bcos120^0$ , заметим, что $cos120^0=cos(180^0-60^0)=cos180^0cos60^0-sin180^0*sin60^0=$

$=-1*frac{1}{2}=-frac{1}{2}$

Значит $AC^2=a^2+b^2-2*a*b*(-frac{1}{2})$

$AC^2=a^2+b^2+a*b$

Учитывая, что $a^2+b^2=122$ и $a*b=22.$ То получается, что $AC^2=122+22$

$AC^2=144$ Значит AC=12.

Ответ: большая диагональ равна 12.