В тетраэдре DABC DA=DC=13,AC=10,E-середина BC.Постройте сечение тетраэдра плоскостью,проходящей через точку E параллельно плоскости ADC,и найдите площадь сечения.

В тетраэдре DABC DA=DC=13, AC=10, E-середина BC. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку E параллельно плоскости ADC, и найдите площадь сечения.

Построение сечения: 

Сделаем рисунок тетраэдра. 

На середине ВС отметим точку Е. 

Проведем ЕК параллельно АС.

На боковых гранях ВСD и ВАD проведем  из  Е и К параллельно ребрам СD и АD прямые до пересечения на ребре в точке М. 

КМ и ЕМ - средние линии ∆ ADB  и ∆  CDB

В плоскости КМЕ пересекающиеся прямые КЕ и ЕМ соответственно  параллельны пересекающимся прямым АС и DС.

 Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.⇒

плоскость сечения КМЕ || плоскости ADC. 

––––––––––––––––

В тетраэдре боковая грань  ADC – равнобедренный треугольник по условию. Треугольники КМЕ и АDC подобны, т.к. стороны ∆ МКЕ - средние линии ∆ АВС,  ⇒ k=АС:КЕ=2

Высота DН равнобедренного треугольника АDС - его медиана. ⇒ АН=НС=5,  ∆ ADH=CDH - прямоугольные. 

По т. Пифагора DН=12, но можно обойтись без вычислений, если вспомнить, что стороны треугольника АDН из часто встречающихся в задачах Пифагоровых троек с отношением 13:5:12

Тогда S ∆ ADC=DH•AH=12•5=60

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. 

S ∆ ADC:S ∆ KME=k²= 4

S ∆ KME=60:4=15 (ед. площади)