В прямоугольном треугольнике один катет на 1см, а другой на 8см меньше гипотенузы. Найти площадь треугольника.

Пусть гипотенуза х см, тогда первый катет х-1, а второй х-8, составим уравнения, исходя из теоремы Пифагора:

х²=(х-1)²+(х-8)²

х²=х²-2х+1+х²-16х+64

х²-х²+2х-1-х²+16х-64=0

-х²+18х-65=0

Найдём дискриминант D=18²-4*(-1)*(-65)=324-260=64>0 (значит уравнение имеет два корня)

х₁=(-18-√64)/2*(-1)=-26/(-1)=26

х₂=(-18+√64)/2*(-1)=-10/(-1)=10

Если гипотенуза равна х₁=26, то первый катет равен х-1=26-1=25, а второй х-8=26-8=18

Если гипотенуза равна х₂=10, то первый катет равен х-1=10-1=9, а второй х-8=10-8=2.

Площадь в первом случае равна: S=0,5а*h=0.5*18*2=18 см²

Площадь во втором случае равна: S=0,5а*h=0.5*9*2=9 см²

пусть x- это гипотенуза,тогда первый катет а=x-1
а второй катет h=х-8
все решаем уравнение
по теореме Пифагора
x^2=(x-8)^2+(x-1)^2
x^2=x^2-16x+64+x^2+1-2x^2
x^2=2x^2-18x+65
x^2-18x+65=0
D=324-4*65*1=324-260=64
x1=13 и x2=5(второй корень под условие задачи не подходит)остается первый корень
S=1/2ah=1/2(13-1)*(13-8)=1/2*12*5=30
Ответ: S=30 см^2