В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 6, а площадь равна 9. Найти радиус вписанной в этот треугольник окружности.

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен разности суммы катетов и гипотенузы, делённой на два, т. е.
r=(а+в-с):2, где а и в - катеты, с - гипотенуза.
Полезно эту формулу запомнить, не раз еще пригодится.

--------------------------------------
Чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо найти стороны треугольника, а для этого нужна его высота. 

S=h*c:2

h=2S:c, где с - основание треугольника ( здесь - гипотенуза). 

18:6=3 см
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой)
Найдем эти отрезки:
3²= x *(6-x)
9=6х-х²
х²-6х+9=0
Решив это квадратное уравнение, найдем два одинаковых корня =3
Следовательно, отрезки, на которые высота делит гипотенузу, равны, и треугольник - равнобедренный.
Высота равна 3, половина гипотенузы=3.
Из прямоугольного треугольника с катетами 3 и 3 найдем боковую сторону ( катет исходного треугольника)
х²=3²+3²=18
х= √18=3√2
Катеты равны 3√2
----------
Повторим:
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен разности суммы катетов и гипотенузы, делённой на два, т. е.
r=(а+в-с):2, где а и в - катеты, с - гипотенуза.
r=(2*3√2-6):2=(6√2-6):2=6(√2-1):2=3(√2-1)