Докажите, что напряженность электрического поля внутри заряженной проводящей сферы равна нулю.

Внутри заряжённой сферы напряжённость электрического поля равна нулю.  Поясню: напряжённость электрического поля в данной точке измеряется силой, действующей на единичный положительный заряд, помещённый в эту точку. Если сформулировать по-другому, напряжённость есть величина, равная отношению силы, действующей на положительный пробный заряд, помещённый в данную точку поля, к этому заряду. Т. е. для точечного заряда  

F=q·E, E=k·q/r2.  

Поскольку сила - вектор, а заряд - скаляр, то напряжённость тоже вектор. Если поле вызвано положительным зарядом, то вектор напряжённости направлен вдоль радиуса-вектора от заряда во внешнее пространство (отталкивание положительного пробного заряда) , если поле вызвано отрицательным зарядом, вектор напряжённости направлен к заряду. Для точечных зарядов электрические поля складываются по правилу векторов, т. е. : напряжённость результирующего поля есть векторная сумма напряжённостей полей, создаваемых отдельными зарядами.  Напряжённость электрического поля металлической заряженной сферы совпадает с полем точечного заряда, имеющего тот же заряд и помещённого в точке, соответствующей центру сферы. Внутри полой сферы напряжённость равна нулю.