Опубликовано 6 лет назад по предмету Физика от tank987

Имеется пружина с аномальной жесткостью так что смещается сила F пропорциальна кубу смещается x: F=-kx^3, причем k=1MH/м^3. На такую пружину подвешен груз массой 1кг .Определите период малых колебаний груза относительно положения равновесия.
Можно пожалуйста записать решение +ответ и объясните как решили если не трудно .заранее спасибо

Ответ

Ответ дан kir3740

Ну попробуем! Итак, запишем второй закон Ньютона для такой системы (ось направим вниз)

$ma = mg-kx^3\ mx'' = mg-kx^3$

Пусть x = q+x0, где x0 = коренькубический(mg/k) и это константа, тогда

$m(q+x_0)'' = mg-k(q+x_0)^3\ q'' = mg-mg - 3kx_0&^2q-3kx_0q^2-kq^3\ <br />mq''+3kx_0^2q = -3kx_0q^2-kq^3$

Итак, для величины q, которая есть отклонение от положения равновесия мы получили ангармоническое уравнение колебаний. Вот теперь мы скажем, что если q мало, то можно пренебречь его старшими степенями в правой части уравнения. Тогда все становится просто

$q''+frac{3kx_0^2}{m}q = 0$

Это обычное уравнение гармонических колебаний, множитель перед q - это квадрат угловой частоты, ну а период найдем элементарно (не забыв подставить x0)

$omega = sqrt{frac{3kx_0^2}{m}} = \\sqrt{frac{3k}{m}(frac{mg}{k})^{2/3}} = sqrt{3sqrt[3]{frac{{g^2k}}{m}}} = sqrt[6]{frac{27kg^2}{m}}$

$T = 2pisqrt[6]{frac{m}{27kg^2}}$

Самые новые вопросы

Математика - 5 лет назад

Решите уравнения: а) 15 4 ∕19 + x + 3 17∕19 = 21 2∕19; б) 6,7x - 5,21 = 9,54

Информатика - 5 лет назад

Помогите решить задачи на паскаль.1) дан массив случайных чисел (количество элементов вводите с клавиатуры). найти произведение всех элементов массива.2) дан массив случайных чисел (количество элементов вводите с клавиатуры). найти сумму четных элементов массива.3) дан массив случайных чисел (количество элементов вводите с клавиатуры). найти максимальный элемент массива.4) дан массив случайных чисел (количество элементов вводите с клавиатуры). найти максимальный элемент массива среди элементов, кратных 3.

География - 5 лет назад

Почему япония - лидер по выплавке стали?

Математика - 5 лет назад

Чему равно: 1*(умножить)х? 0*х?

Русский язык - 5 лет назад

В каком из предложений пропущена одна (только одна!) запятая?1.она снова умолкла, точно некий внутренний голос приказал ей замолчать и посмотрела в зал. 2.и он понял: вот что неожиданно пришло к нему, и теперь останется с ним, и уже никогда его не покинет. 3.и оба мы немножко удовлетворим свое любопытство.4.впрочем, он и сам только еле передвигал ноги, а тело его совсем застыло и было холодное, как камень. 5.по небу потянулись облака, и луна померкла.