Опубликовано 5 лет назад по предмету Алгебра от susha2001

Вычислите $cos alpha$ если $sin( frac{ pi }{6} - alpha )= frac{2 sqrt{2} }{3} \ frac{ pi }{2} < frac{ pi }{6} - alpha < pi$

Ответ

Ответ дан nafanya2014

Так как
$frac{ pi }{2}< frac{ pi }{6} - alpha < pi,$
то
$frac{ pi }{2}- frac{ pi }{6}< - alpha < pi- frac{ pi }{6}, \ frac{ 2pi }{6}< - alpha < frac{5 pi }{6}, \ -frac{ 5pi }{6}< alpha < - frac{2 pi }{6}$
Угол α в четвертой четверти и косинус имеет знак +
Применим формулу
sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ

$sin( frac{ pi }{6}- alpha)=sin frac{ pi }{6} cdot cos alpha - cos frac{ pi }{6} cdot sin alpha = frac{cos alpha }{2} - frac{sin alpha sqrt{3} }{2}$

Решаем уравнение
$frac{cos alpha }{2} - frac{sin alpha sqrt{3} }{2} = frac{2 sqrt{2} }{3}$
Умножаем на 6 и заменим синус и косинус по формуле половинного аргумента
$3cos alpha -3 sqrt{3}sin alpha =4 sqrt{2}, \ 3(cos ^{2} frac{ alpha }{2}-sin ^{2} frac{ alpha }{2} )-6 sqrt{3}sin alphacdot cos alpha =4 sqrt{2} (cos ^{2} frac{ alpha }{2}+sin ^{2} frac{ alpha }{2} ) \$
$3(cos ^{2} frac{ alpha }{2}-sin ^{2} frac{ alpha }{2} )-6 sqrt{3}sin frac{ alpha }{2} cdot cos frac{ alpha }{2} =4 sqrt{2} (cos ^{2} frac{ alpha }{2}+sin ^{2} frac{ alpha }{2} )$

$(3-4 sqrt{2}) cos ^{2} frac{ alpha }{2}-6 sqrt{3}sin frac{ alpha }{2} cdot cos frac{ alpha }{2} -(3+4 sqrt{2}) sin ^{2} frac{ alpha }{2} =0$
Однородное уравнение второй степени, делим на cos²(α/2)

$(3-4 sqrt{2}) -6 sqrt{3}tg frac{ alpha }{2} -(3+4 sqrt{2})tg ^{2} frac{ alpha }{2} =0, \(3+4 sqrt{2})tg ^{2} frac{ alpha }{2} +6 sqrt{3}tg frac{ alpha }{2} -(3-4 sqrt{2})=0 \ D=(6 sqrt{3}) ^{2}+4(3+4 sqrt{2})(3-4 sqrt{2}) =108+4(9-32)=16$

$tg frac{ alpha }{2}= frac{-6 sqrt{3}-4 }{2(3+4 sqrt{2}) } , \ tg frac{ alpha }{2}= frac{-6 sqrt{3}+4 }{2(3+4 sqrt{2}) }$
$cos alpha = frac{1-tg frac{ alpha }{2} ^{2} }{1+tg ^{2} frac{ alpha }{2} }$
$cos alpha = frac{4(3+4 sqrt{2}) ^{2}-(6 sqrt{3}+4) ^{2} }{4(3+4 sqrt{2}) ^{2}+(6 sqrt{3}+4) ^{2}}= \ frac{40+96 sqrt{2} -48 sqrt{3} }{288+96 sqrt{2}+48 sqrt{3} }$
или
$cos alpha = frac{4(3+4 sqrt{2}) ^{2}-(6 sqrt{3}-4) ^{2} }{4(3+4 sqrt{2}) ^{2}+(6 sqrt{3}-4) ^{2}}= \ frac{40+96 sqrt{2} +48 sqrt{3} }{288+96 sqrt{2}-48 sqrt{3} }$

2 способ
Неравенство относительно угла α, полученное в первом решении остается справедливым.
Считая, что угол в 4 четверти находим решение уравнения
$frac{ pi }{6} - alpha = pi -arcsin frac{2 sqrt{2} }{3}+2 pi k,kin Z$
Возьмём только одно значение
$alpha =arcsin frac{2 sqrt{2} }{3}- frac{5 pi }{6} , \ cos alpha =cos(arcsin frac{2 sqrt{2} }{3}- frac{5 pi }{6})= \ =cos(arcsin frac{2 sqrt{2} }{3})cos frac{5 pi }{6}+sin(arcsin frac{2 sqrt{2} }{3})sin frac{5 pi }{6} = \ =- frac{1}{3}cdot frac{ sqrt{3} }{2} + frac{2 sqrt{2} }{3}cdot frac{1}{2}= frac{2 sqrt{2}-3 }{6}$
1. Ответ
  
  Ответ дан mmb1
  
  ход решения правильный ... а ответы все можно подогнать ...
2. Ответ
  
  Ответ дан susha2001
  
  корень из двух минус корень из трех деленная на шесть
3. Ответ
  
  Ответ дан nafanya2014
  
  Тогда получается отрицательное значение, и угол альфа в третьей или второй четверти, что противоречит условию. Проверьте условие задачи еще раз
4. Ответ
  
  Ответ дан susha2001
  
  нет все правильно я проверила
5. Ответ
  
  Ответ дан susha2001
  
  спасибо большое )))