Опубликовано 6 лет назад по предмету Алгебра от SergSC

Найти общее решение дифференциального уравнения $a(x)y^{'}+b(x)y=f(x)$ и частное решение, удовлетворяющее начальному условию $y=y_{0}$ при $x=x_{0}$

$xy^{'}+2y=frac{1}{x}$ $y_{0}=1, x_{0}=3$

Ответ

Ответ дан math89

Сначала разделим левую и правую часть уравнения на x, получим:

$y'+frac{2}{x}y=frac{1}{x^2}$

Решим сначала однородное уравнение, вида:

$y'+frac{2}{x}y=0$

Это уравнение с разделяющимися переменными, получаем: $frac{dy}{dx}+frac{2}{x}y=0$

$frac{dy}{dx}=-frac{2}{x}y$

$frac{dy}{y}=-frac{2}{x}dx$

Берем интеграл от обоих частей получаем:

$int{frac{dy}{y}}=-intfrac{2}{x}dx$

$ln(y)=-2ln(x)$

$y=frac{C}{x^2}$

Дальше методом вариации свободной постоянной ищем частное решение неоднородного уравнения:

Представляем C как функцию от х, т.е C=C(x) и подставляем выражение $y=frac{C(x)}{x^2}$ в исходное уравнение. Получаем:

$frac{xC'(x)-2C(x)}{x^3}+frac{2}{x}frac{C(x)}{x^2}=frac{1}{x^2}$

Сокращаем подобные и прочее, получаем:

$frac{C'(x)}{x^2}=frac{1}{x^2} \ C'(x)=1 \ C(x)=x$

Подставляем получившееся значение C(x) в выражение $y=frac{C}{x^2}$ и получаем частное решение $y=frac{1}{x}$

В итоге общее решение неоднородного уравнения это сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Т.е.

$Y=frac{C}{x^2}+frac{1}{x}$

Все, уравнение решено. Теперь решаем задачу Коши:

Т.к. $y_0=1\x_0=3$

то приходим к уравнению $1=frac{C}{9}+frac{1}{3}\ frac{C}{9}=frac{2}{3}\ C=6$

Все, нашли С, теперь пишем решение задачи Коши:

$Y_0=frac{6}{x^2}+frac{1}{x}$

Ответ: Общее решение дифференциального уравнения:

$Y=frac{C}{x^2}+frac{1}{x}$

Частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющиего начальному условию $y_0=1, x_0=3$ :

$Y_0=frac{6}{x^2}+frac{1}{x}$

Самые новые вопросы

Математика - 5 лет назад

Решите уравнения: а) 15 4 ∕19 + x + 3 17∕19 = 21 2∕19; б) 6,7x - 5,21 = 9,54

Информатика - 5 лет назад

Помогите решить задачи на паскаль.1) дан массив случайных чисел (количество элементов вводите с клавиатуры). найти произведение всех элементов массива.2) дан массив случайных чисел (количество элементов вводите с клавиатуры). найти сумму четных элементов массива.3) дан массив случайных чисел (количество элементов вводите с клавиатуры). найти максимальный элемент массива.4) дан массив случайных чисел (количество элементов вводите с клавиатуры). найти максимальный элемент массива среди элементов, кратных 3.

География - 5 лет назад

Почему япония - лидер по выплавке стали?

Математика - 5 лет назад

Чему равно: 1*(умножить)х? 0*х?

Русский язык - 5 лет назад

В каком из предложений пропущена одна (только одна!) запятая?1.она снова умолкла, точно некий внутренний голос приказал ей замолчать и посмотрела в зал. 2.и он понял: вот что неожиданно пришло к нему, и теперь останется с ним, и уже никогда его не покинет. 3.и оба мы немножко удовлетворим свое любопытство.4.впрочем, он и сам только еле передвигал ноги, а тело его совсем застыло и было холодное, как камень. 5.по небу потянулись облака, и луна померкла.