Опубликовано 6 лет назад по предмету Алгебра от bovot

Доказать, что 2^n+1 делится нацело на 3 при любом нечетном n

Ответ

Ответ дан krolikzajcev

Любой квадрат, неделящийся нацело на 3, при делении на 3 дает остаток 1. Теперь вперед.

Пусть показатель степени n нечетное число, тогда n=2k+1.

$2^n=2^{2k+1}=2*(2^k)^2$

Число $(2^k)^2$ полный квадрат и дает при делении на 3 остаток 1. Поэтому число
$2*(2^k)^2$

при делении на 3 дает в остатке 2, а нужное нам число
$2*(2^k)^2+1$ при делении на 3 дает в остатке 3, то есть делится на 3 нацело, чтд.
Ответ

Ответ дан Гоша68

при k=1 имеем 2^1+1=3 делится на 3
Пусть при к=2n+1 выполняется 2^(2n+1)+1 делится 3;
покажем, что при к=2(n+1)+1 2^k+1 делится на 3
2^(2(n+1)+1)+1=2^((2n+1)+2)+1=(2^2)*(2^(2n+1))+1=
=(1+3)*2^(2n+1)+1=(2^(2n+1)+1)+3*2^(2n+1)
первое слагаемое делится на 3 по предположению, а второе
содержит множитель 3. Следовательно и сумма делится на 3.
Мы доказали по методу математической индукции.

Самые новые вопросы

Математика - 5 лет назад

Решите уравнения: а) 15 4 ∕19 + x + 3 17∕19 = 21 2∕19; б) 6,7x - 5,21 = 9,54

Информатика - 5 лет назад

Помогите решить задачи на паскаль.1) дан массив случайных чисел (количество элементов вводите с клавиатуры). найти произведение всех элементов массива.2) дан массив случайных чисел (количество элементов вводите с клавиатуры). найти сумму четных элементов массива.3) дан массив случайных чисел (количество элементов вводите с клавиатуры). найти максимальный элемент массива.4) дан массив случайных чисел (количество элементов вводите с клавиатуры). найти максимальный элемент массива среди элементов, кратных 3.

География - 5 лет назад

Почему япония - лидер по выплавке стали?

Математика - 5 лет назад

Чему равно: 1*(умножить)х? 0*х?

Русский язык - 5 лет назад

В каком из предложений пропущена одна (только одна!) запятая?1.она снова умолкла, точно некий внутренний голос приказал ей замолчать и посмотрела в зал. 2.и он понял: вот что неожиданно пришло к нему, и теперь останется с ним, и уже никогда его не покинет. 3.и оба мы немножко удовлетворим свое любопытство.4.впрочем, он и сам только еле передвигал ноги, а тело его совсем застыло и было холодное, как камень. 5.по небу потянулись облака, и луна померкла.