Опубликовано 6 лет назад по предмету Алгебра от ace4111

Диагонали ромба АВСD равны 12 и 16. Найдите длину вектора АВ - АС рис. в вложении.

Ответ

Ответ дан nelle987

$overrightarrow{AB}-overrightarrow{AC}=overrightarrow{AB}+overrightarrow{CA}=overrightarrow{CA}+overrightarrow{AB}=overrightarrow{CB}$

Нужно найти длину вектора CB.

По свойству ромба диагонали AC и BD перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.

Обозначим точку пересечения диагоналей буквой О. Рассмотрим треугольник BOC. Он прямоугольный с гипотенузой CB и катетами 12/2 = 6 и 16/2 = 8. По теореме Пифагора гипотенуза равна
$CB=sqrt{6^2+8^2}=10$

Ответ. 10
Ответ

Ответ дан AssignFile

Теорема косинусов: Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Определим, длину какого вектора нам надо найти:
$overrightarrow{AB}-overrightarrow{AC}=overrightarrow{AB}+overrightarrow{CA}=overrightarrow{CA}+overrightarrow{AB}=overrightarrow{CB}$
Итак, предстоит найти длину вектора $overrightarrow{CB}$ , или длину стороны CB, т.е. длину стороны ромба.

Пусть сторона ромба a.
По теореме косинусов, диагональ ромба BD равна:
$BD^2 =a^2 + a^2 - 2a*a*cosA=2a^2 -2a^2 cosA$

По теореме косинусов диагональ AC равна:
$AC^2 =a^2 + a^2 - 2a*a*cosB=2a^2 -2a^2 cosB= \ \ =2a^2 -2a^2 cos(180-A)=2a^2 +2a^2 cosA$
Угол B смежный с углом A.

Получили два уравнения с двумя неизвестными:
$left { {{BD^2 =2a^2 -2a^2 cosA} atop {AC^2 =2a^2 +2a^2 cosA}} right.$

Сложим два уравнения почленно:
$BD^2 +AC^2=4a^2 \ \ a^2 = frac{BD^2 +AC^2}{4} \ \ a = frac{1}{2} sqrt{BD^2 +AC^2}$

Подставляем:
$a = frac{1}{2} sqrt{12^2 +16^2} =frac{1}{2} sqrt{144 +256} = \ \ =frac{1}{2} sqrt{144 +256} =frac{1}{2} sqrt{400} =frac{1}{2} 20 =10$