Опубликовано 6 лет назад по предмету Алгебра от Дарина797

Могут ли длины сторон прямоугольного треугольника составлять геометрическую прогрессию? При положительном ответе укажите знаменатель прогрессии.

Ответ

Ответ дан Аккаунт удален

Пусть катеты будут равны x и xq, а гипотенуза - xq². Тогда по теореме Пифагора:
x² + x²q² = x²q⁴

x² (q⁴ - q² - 1) = 0
Произведение равно нулю, если хотя один из множителей равен нулю
$q^4-q^2-1=0$
Решим последнее уравнение как квадратное уравнение относительно $q^2$ .
$D=b^2-4ac=(-1)^2-4cdot1cdot(-1)=5\ \ q^2= dfrac{1- sqrt{5} }{2}$
Это уравнение решений не имеет.
$q^2=dfrac{1+ sqrt{5} }{2} ;~~~~~Rightarrow~~~~~ boxed{q= sqrt{dfrac{1+ sqrt{5} }{2} } }$

Теперь рассмотрим другой случай. Пусть x - гипотенуза, тогда xq и xq² - катеты. Согласно теореме Пифагора:
x² = x²q² + x²q⁴
1 = q² + q⁴
q⁴ + q² -1 = 0 (*)
Решаем последнее уравнение (*) , как квадратное уравнение относительно q²
$D=b^2-4ac=1^2-4cdot1cdot(-1)=5\ \ q^2= dfrac{-1- sqrt{5} }{2}$
Это уравнение действительных корней не имеет.

$q^2= dfrac{ sqrt{5} -1}{2} ;~~~~~~Rightarrow~~~~~ boxed{q=sqrt{dfrac{ sqrt{5} -1}{2} }}$

Этот случай получается из предыдущего заменой $q$ на $frac{1}{q}$

Самые новые вопросы

Математика - 6 лет назад

Решите уравнения: а) 15 4 ∕19 + x + 3 17∕19 = 21 2∕19; б) 6,7x - 5,21 = 9,54

Информатика - 6 лет назад

Помогите решить задачи на паскаль.1) дан массив случайных чисел (количество элементов вводите с клавиатуры). найти произведение всех элементов массива.2) дан массив случайных чисел (количество элементов вводите с клавиатуры). найти сумму четных элементов массива.3) дан массив случайных чисел (количество элементов вводите с клавиатуры). найти максимальный элемент массива.4) дан массив случайных чисел (количество элементов вводите с клавиатуры). найти максимальный элемент массива среди элементов, кратных 3.

География - 6 лет назад

Почему япония - лидер по выплавке стали?

Математика - 6 лет назад

Чему равно: 1*(умножить)х? 0*х?

Русский язык - 6 лет назад

В каком из предложений пропущена одна (только одна!) запятая?1.она снова умолкла, точно некий внутренний голос приказал ей замолчать и посмотрела в зал. 2.и он понял: вот что неожиданно пришло к нему, и теперь останется с ним, и уже никогда его не покинет. 3.и оба мы немножко удовлетворим свое любопытство.4.впрочем, он и сам только еле передвигал ноги, а тело его совсем застыло и было холодное, как камень. 5.по небу потянулись облака, и луна померкла.