Опубликовано 5 лет назад по предмету Алгебра от про100Елена

Некоторое число при делении на 7 даёт в остатке 2, а другое натуральное число при делении на 7 даёт в остатке 3. Дакажите, что сумма кубов этих чисел делится на 7.

Ответ

Ответ дан к5о5т5я

7n+2 одно число

7m+3 другое число

( 7n+2)³+( 7m+3)³=(7n+2+7m+3)((7n+2)²-(7n+2)( 7m+3)+( 7m+3)²)=

=(7n+7m+5)(49n²+28n+4-49nm-35n-6+49m²+42m+9)=

= (7n+7m+5)(49n²+49m²-7n-49nm+7)= (7n+7m+5) (7n²+7m²-1n-7nm+1)*7

Из трёх множителей один делится на 7, значит всё произведение делится на 7

Что и требовалось доказать!!!
Ответ

Ответ дан dtnth

Первый способ

Если некоторое число при делении на 7 даёт в остатке 2, то его можно записать в виде 7k+2, где k - некоторое целое число

Если некоторое число при делении на 7 даёт в остатке 2, то его можно записать в виде 7m+3, где m - некоторое целое число

$(7k+2)^3+(7m+3)^3=\\ (7k)^3+3*(7k)^2*2+3*(7k)*2^2+2^3+(7m)^3+3*(7m)^2*3+3*(7m)*3^2+3^3=\\ 343k^3+294k^2+84k+8+343m^3+441m^2+189m+27=\\ 7*49k^3+7*42k^2+7*12k+7*49m^3+7*63m^2+7*27m+35=\\ 7(49k^3+42k^2+12k+49m^3+63m^2+27m+5)$

Один из множителей (а именно 7) в разложении суммы данных чисел делится на 7, значит и сумма кубов этих чисел делится на 7. Доказано

второй способ.

Остаток от деления произведения на число равен остатку от произведения остатков на это число.

Остаток от деления суммы на число равен остатку суммы остатков слагаемых на число

Поэтому Если некоторое число при делении на 7 даёт в остатке 2, то куб этого числа дает такой же остаток как и число 2^3=2*2*2=8 а значит дает остаток 1

Некоторое число при делении на 7 даёт в остатке 3, то куб этого числа дает такой же остаток как и число 3^3=3*3*3=27 а значит дает остаток 6

Так как 1+6=7 то сумма кубов єтих чисел делится на 7. Доказано

Самые новые вопросы

Математика - 5 лет назад

Решите уравнения: а) 15 4 ∕19 + x + 3 17∕19 = 21 2∕19; б) 6,7x - 5,21 = 9,54

Помогите решить задачи на паскаль.1) дан массив случайных чисел (количество элементов вводите с клавиатуры). найти произведение всех элементов массива.2) дан массив случайных чисел (количество элементов вводите с клавиатуры). найти сумму четных элементов массива.3) дан массив случайных чисел (количество элементов вводите с клавиатуры). найти максимальный элемент массива.4) дан массив случайных чисел (количество элементов вводите с клавиатуры). найти максимальный элемент массива среди элементов, кратных 3.

География - 5 лет назад

Почему япония - лидер по выплавке стали?

Математика - 5 лет назад

Чему равно: 1*(умножить)х? 0*х?

Русский язык - 5 лет назад

В каком из предложений пропущена одна (только одна!) запятая?1.она снова умолкла, точно некий внутренний голос приказал ей замолчать и посмотрела в зал. 2.и он понял: вот что неожиданно пришло к нему, и теперь останется с ним, и уже никогда его не покинет. 3.и оба мы немножко удовлетворим свое любопытство.4.впрочем, он и сам только еле передвигал ноги, а тело его совсем застыло и было холодное, как камень. 5.по небу потянулись облака, и луна померкла.

Некоторое число при делении на 7 даёт в остатке 2, а другое натуральное число при делении на 7 даёт в остатке 3. Дакажите, что сумма кубов этих чисел делится на 7.

Информация